2.5_二元结构与群_习题.ZH

1内容

和$\mu_{2}$表示关于平分线段$\overline{14}$和$\overline{23}$的直线的反射）。可以验证$\rho \tau=\rho_{1} \tau_{1}=\mu_{1}, \rho^{2} \tau=\rho_{2} \tau_{1}=\mu_{1}$。当然，我们也可以用$A_{k \pi / 2}$和$B_{k \pi / 2}$来表示它们：$\rho=A_{2 \pi / 4}=A_{\pi / 2}, \rho_{k}=A_{2 k \pi / 4}=A_{k \pi / 2}, \tau=\tau_{1}=R=B_{0}, \tau_{2}=B_{\pi}, \mu_{1}=B_{\pi / 2}, \mu_{2}=B_{3 \pi / 2}$。关系是$\rho^{4}=1, \tau^{2}=1$，以及$\tau \rho \tau=\rho^{-1}=\rho^{3}$，或者等价地$\tau \rho=\rho^{3} \tau$。

(ii) 四元数群 $Q$，由下表给出：

注意，在$D_{4}$中，有两个阶为4的元素$\rho_{1}$和$\rho_{3}$，以及五个阶为2的元素$\rho_{2}, \tau_{1}, \tau_{2}, \mu_{1}$和$\mu_{2}$。然而，在$Q$中，有六个阶为4的元素$\pm i, \pm j$和$\pm k$，以及一个阶为2的元素，即-1。特别地，我们看到$D_{4}$和$Q$不同构。

至于（真非平凡）子群，$Q$有三个阶为4的子群，它们都是循环群：$\langle i\rangle,\langle j\rangle$和$\langle k\rangle$。（注意，例如$\langle i\rangle=\left\langle i^{-1}\right\rangle=\langle-i\rangle$。）有一个阶为2的子群：$\langle-1\rangle$。

在$D_{4}$中，有五个阶为2的子群：$\left\langle\rho_{2}\right\rangle,\left\langle\tau_{1}\right\rangle,\left\langle\tau_{2}\right\rangle,\left\langle\mu_{1}\right\rangle$和$\left\langle\mu_{2}\right\rangle$。$D_{4}$有三个阶为4的子群。其中一个是循环群，即$\left\langle\rho_{1}\right\rangle=\left\langle\rho_{3}\right\rangle$。另外两个是$\left\{1, \rho_{2}, \tau_{1}, \tau_{2}\right\}$和$\left\{1, \rho_{2}, \mu_{1}, \mu_{2}\right\}$；它们都同构于克莱因4群$V$。

1习题

习题 2.1. 下列哪些是同构？为什么？

(a) $f:(\mathbb{R},+) \rightarrow(\mathbb{R},+)$由$f(x)=x^{3}$定义。

(b) $f:\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right) \rightarrow\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right)$由$f(x)=x^{3}$定义。

(c) $f:\left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right) \rightarrow\left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right)$由$f(x)=x^{3}$定义。

(d) $f:\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right) \rightarrow\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)$由$f(z)=z^{3}$定义。

(e) $f:\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right) \rightarrow\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)$由$f(z)=1 / z$定义。

(f) $f:(\mathbb{Z},+) \rightarrow(\mathbb{Z},+)$由$f(n)=2 n$定义。

(g) $f:(\mathbb{Q},+) \rightarrow(\mathbb{Q},+)$由$f(x)=2 x-1$定义。

习题 2.2. (i) 令$\left(X_{1}, *_{1}\right),\left(X_{2}, *_{2}\right)$和$\left(X_{3}, *_{3}\right)$是三个二元结构，并且$f:\left(X_{1}, *_{1}\right) \rightarrow\left(X_{2}, *_{2}\right)$和$g:\left(X_{2}, *_{2}\right) \rightarrow\left(X_{3}, *_{3}\right)$是同构。证明$g \circ f:\left(X_{1}, *_{1}\right) \rightarrow \left(X_{3}, *_{3}\right)$也是一个同构。

(ii) 如果$(X, *)$是一个二元结构，证明$\operatorname{Id}_{X}:(X, *) \rightarrow(X, *)$是一个同构。

(iii) 令$\left(X_{1}, *_{1}\right)$和$\left(X_{2}, *_{2}\right)$是两个二元结构，并且$f: X_{1} \rightarrow X_{2}$是一个同构。证明$f^{-1}:\left(X_{2}, *_{2}\right) \rightarrow\left(X_{1}, *_{1}\right)$是一个同构。

习题 2.3. (i) 令$\left(X_{1}, *_{1}\right)$和$\left(X_{2}, *_{2}\right)$是两个二元结构，并且$\left(X_{1} \times X_{2}, *_{1} \times *_{2}\right)$是积二元结构。证明，如果$\left(X_{1}, *_{1}\right)$和$\left(X_{2}, *_{2}\right)$是结合的，那么$\left(X_{1} \times X_{2}, *_{1} \times *_{2}\right)$是结合的；如果$(X_{1}, *_{1})$和$(X_{2}, *_{2})$是交换的，那么$(X_{1} \times X_{2}, *_{1} \times *_{2})$是交换的。如果$e_{1}$和$e_{2}$分别是$\left(X_{1}, *_{1}\right)$和$\left(X_{2}, *_{2}\right)$的单位元，证明$(e_{1}, e_{2})$是$\left(X_{1} \times X_{2}, *_{1} \times *_{2}\right)$的单位元。假设$\left(X_{1}, *_{1}\right)$和$\left(X_{2}, *_{2}\right)$存在单位元，如果$\left(x_{1}, x_{2}\right) \in X_{1} \times X_{2}$并且$x_{1}^{\prime}$是$x_{1}$的逆元，$x_{2}^{\prime}$是$x_{2}$的逆元，证明$\left(x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}\right)$是$(x_{1}, x_{2})$的逆元。因此，如果$(G_{1}, *_{1})$和$(G_{2}, *_{2})$是两个群，那么$(G_{1} \times G_{2}, *_{1} \times *_{2})$是一个群。

(ii) 令$(X, *)$是一个二元结构，并且$Y$是一个集合。证明，如果$(X, *)$是结合的，那么$(X^{Y}, *)$是结合的；如果$(X, *)$是交换的，那么$(X^{Y}, *)$是交换的。如果$e$是$(X, *)$的单位元，证明对于所有$y \in Y$，由$f(y)=e$定义的常数函数是$(X^{Y}, *)$的单位元。最后，如果$f: Y \rightarrow X$是一个函数，使得对于所有$y \in Y$， $f(y)$是可逆的，那么$f$是可逆的，并且它的逆函数等于由$g(y)=(f(y))^{\prime}$定义的函数$g: Y \rightarrow X$。（这就是为什么对于实值函数$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$，我们只有当对于所有$t \in \mathbb{R}$，$f(t) \neq 0$时才能定义函数$1 / f$。）因此，如果$(G, *)$是一个群，那么对于每个集合$Y,(G^{Y}, *)$也是一个群。

习题 2.4. 我们已经看到$(\mathbb{R},+)$同构于$(\mathbb{R}^{>0}, \cdot)$。证明$(\mathbb{R},+)$不同构于$\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right)$，其中$\mathbb{R}^{*}=\mathbb{R}-\{0\}$。（提示：在$\mathbb{R}^{*}$中方程$x^{2}=1$有多少个解？在$(\mathbb{R},+)$中对应的方程是什么？）

习题 2.5. 回忆我们在第一章的习题中看到函数

由

定义是一个双射，其中$\mathbb{R}^{>0}=\{t \in \mathbb{R}: t>0\}$是正实数集。证明$F$是一个从$(\mathbb{R}^{>0} \times U(1), \cdot)$到$(\mathbb{C}^{*}, \cdot)$的同构，其中$(\mathbb{R}^{>0} \times U(1), \cdot)$表示积二元结构：$\left(r_{1}, z_{1}\right) \cdot\left(r_{2}, z_{2}\right)=\left(r_{1} r_{2}, z_{1} z_{2}\right)$，使用$\mathbb{R}^{>0}$和$U(1)$中常用的乘法运算。

习题 2.6. 令$(X, *)$是一个二元结构。我们定义对立二元结构$(X^{\mathrm{op}}, *^{\mathrm{op}})$如下：$X^{\mathrm{op}}=X$，并且对于所有$a, b \in X, a *^{\mathrm{op}} b=b * a$。假设$X$是一个非空集合，并定义$*$如下：对于所有$a, b \in X, a * b=a$。对于这个二元结构$(X, *)$，描述$(X^{\mathrm{op}}, *^{\mathrm{op}})$。如果$X$另外还有至少两个元素$a \neq b$，那么$(X^{\text {op }}, *^{\text {op }})$同构于$(X, *)$吗？通过构造一个明确的同构或证明不存在这样的同构来论证你的答案。

习题 2.7. (i) 令$X$是一个集合，并令$\cup$是$\mathcal{P}(X)$上的常用并集运算。参考定义1.2.1，二元结构$(\mathcal{P}(X), \cup)$是结合的吗？交换的吗？$\cup$是否存在单位元？如果存在，哪些元素有逆元？

(ii) 将$\cup$替换为$\cap$的相同问题，即对于二元结构$(\mathcal{P}(X), \cap)$。

习题 2.8. 令$X=\{0,1\}$，并令$\cdot$是$X$上的常用乘法。制作一个$(X, \cdot)$的表。$\cdot$是结合的吗？交换的吗？是否存在单位元？每个元素都有逆元吗？

习题 2.9. 令$X=\{e, a, b\}$是一个有三个元素的集合，并考虑$X$上由下表定义的二元运算$*$：

$*$是交换的吗？$*$是否存在单位元？$X$的每个元素都有唯一的逆元吗？解释你如何在不进行任何计算的情况下知道$*$不能是结合的，然后找到一个结合律失败的明确例子。

习题 2.10. 令$X$是集合$\{0,1,2,3\}$，并令$*$是$X$上由$a * b=|a-b|$定义的操作。制作一个操作$*$的表。证明$*$是交换的，并且单位元和逆元存在于$*$中。“数独性质”成立吗？（换句话说，每个元素$X$在每一行和每一列中都恰好出现一次吗？）一个群的哪个定义性质必须对$(X, *)$失败？

习题 2.11. 令$(G, *)$是一个群。根据习题2.6，定义对立群$(G^{\text {op }}, *^{\text {op }})$如下：作为集合，$G^{\text {op }}=G$，但是二元运算定义为：对于所有$x, y \in G$，

换句话说，我们以相反的顺序进行运算。（因此$G$是阿贝尔群$\Longleftrightarrow *^{\mathrm{op}}=*$。）证明$(G^{\text {op }}, *^{\text {op }})$同构于$(G, *)$，这与习题2.6中的例子形成对比。（提示：我们寻求一个从$G$到其自身的双射，它反转运算的顺序。但我们已经知道这样的函数。）

习题 2.12. 令$(G, *)$是一个群。我们通过公式定义了一个双射$\ell_{a}: G \rightarrow G$：对于所有$x \in G, \ell_{a}(x)=a * x$。函数$\ell_{e}$的另一个名称是什么，其中$e$是$G$的单位元？给定两个元素$a, b \in G$，陈述并证明组合$\ell_{a} \circ \ell_{b}$的公式。对于由$r_{a}(x)=x * a$定义的$r_{a}$，关于$r_{e}$和$r_{a} \circ r_{b}$的类似陈述是什么？

习题 2.13. 证明$f([a])=[2 a]$是一个从$\mathbb{Z} / 13 \mathbb{Z}$到$\mathbb{Z} / 13 \mathbb{Z}$的双射，使得$f([8])=[3]$。（提示：不要列出$f([a])$的所有可能性！通过以下方式找到逆函数：证明，如果$[k]$是$[2]$的乘法逆元，那么$g([a])=[k a]$是$f$的逆函数，然后找到$k$。）然后证明$f$是一个从$(\mathbb{Z} / 13 \mathbb{Z},+)$到$(\mathbb{Z} / 13 \mathbb{Z},+)$的同构。

习题 2.14. (i) 令$(G, *)$是一个群，并假设存在$x \in G$使得$x * x=x$。证明$x=e$，即$G$中的单位元。

(ii) 令$(G, *)$是一个群，并假设对于所有$x, y \in G$，以下“指数定律”成立：对于所有$x, y \in G,(x * y) *(x * y)=(x * x) *(y * y)$。证明$(G, *)$是阿贝尔群。

(iii) 令$(G, *)$是一个群，并假设对于所有$x \in G, x * x=e$，其中$e$是$G$中的单位元。证明$(G, *)$是阿贝尔群。

习题 2.15. 令$X$是一个非空集合，带有一个结合的二元运算$*$，使得对于所有$a, b \in X$，存在$x, y \in X$使得$a * x=b$和$y * a=b$。证明$(X, *)$是一个群。注意我们不需要假设解$x, y$是唯一的。（提示：对于每个$a \in X$，存在一个$e_{a} \in X$使得$e_{a} * a=a$。证明$e_{a}$实际上是一个左单位元$e$如下：如果$b$是另一个元素，存在一个$y \in X$使得$a * y=b$。$e_{a} *(a * y)=e_{a} * b$是什么？对称地，存在一个右单位元，因此有一个（唯一的）单位元。现在论证存在左逆元和右逆元。）

习题 2.16. 令$(G, *)$是一个结合的二元结构。假设存在$e \in G$使得对于所有$g \in G, e * g=g$（即$G$有一个左单位元）并且对于所有$g \in G$，存在一个$g^{\prime} \in G$使得$g^{\prime} * g=e$（即$G$中存在左逆元）。证明$G$是一个群。（提示：这是另一个玩弄各种恒等式的练习。一种方法如下：令$e, g, g^{\prime}$如上。根据假设，存在一个元素$g^{\prime \prime} \in G$使得$g^{\prime \prime} * g^{\prime}=e$。首先证明$g^{\prime \prime} * e=g$；注意这并不意味着$g^{\prime \prime}=g$。然后证明$g * g^{\prime}=e$，最后证明$g * e=g$。）

习题 2.17. 令$\mathbb{Q}^{*}=\mathbb{Q}-\{0\}$，并令$*$是$\mathbb{Q}^{*}$上的二元运算，由$r * s=|r| s$定义，其中$|r|$是$r$的绝对值。证明$*$是结合的，1是$*$的左单位元，并且每个元素都有一个右逆元（即对于所有$r \in \mathbb{Q}^{*}$，存在一个$r^{\prime}$使得$r * r^{\prime}=1$）。$\left(\mathbb{Q}^{*}, *\right)$是一个群吗？左单位元是唯一的吗？

习题 2.18. （四元数群$Q$作为$G L_{2}(\mathbb{C})$的子群。）考虑$\mathbb{M}_{2}(\mathbb{C})$中（具有复数系数的$2 \times 2$矩阵）的以下矩阵：

$\mathcal{J J}, \mathcal{K J}, \mathcal{J K}$是什么？（提示：无需进一步计算，注意$\mathcal{J}^{-1}=-\mathcal{J}$，对于$\mathcal{J}, \mathcal{K}$也类似，并使用：$(\mathcal{J} \mathcal{J})^{-1}=\mathcal{J}^{-1} \mathcal{J}^{-1}$。）

最后证明$Q=\{ \pm I, \pm \mathcal{J}, \pm \mathcal{J}, \pm \mathcal{K}\}$是$G L_{2}(\mathbb{C})$（在矩阵乘法下，具有复数系数的可逆$2 \times 2$矩阵）的一个子群。为什么你不需要检查结合律？

习题 2.19. 令$G_{1}$和$G_{2}$是两个群，$f: G_{1} \rightarrow G_{2}$是一个同构。对于所有$g \in G_{1}$和所有$n \in \mathbb{Z}$，证明$f\left(g^{n}\right)=(f(g))^{n}$。推断出$g$在$G_{1}$中有有限阶$\Longleftrightarrow f(g)$在$G_{2}$中有有限阶，并且在这种情况下，$f(g)$的阶等于$g$的阶。

习题 2.20. 令$G$是一个阿贝尔群，其运算写成乘法，并令$g, h \in G$。（更一般地，我们可以令$G$是任意群，并令$g, h \in G$是两个满足$g h=h g$的元素。）证明，如果$g$和$h$都有有限阶$d_{1}$和$d_{2}$，那么$g h$的阶至多为$d_{1}$和$d_{2}$的最小公倍数。特别地，如果$g$和$h$有有限阶，那么$g h$也有。举一个例子说明$g h$的阶并不总是等于$d_{1}$和$d_{2}$的最小公倍数。证明，如果$g$有无限阶而$h$有有限阶，那么$g h$有无限阶。如果$g$和$h$都有无限阶会发生什么？

习题 2.21. 令$G$是一个阿贝尔群，并令$n \in \mathbb{N}$。证明子集

是$G$的一个子群（称为$n$阶挠子群）。（注：（1）$\mathbb{C}^{*}$中$n$次单位根的子群$\mu_{n}$是这种构造的一个特例。(2) 很容易给出此结果在$G$不是阿贝尔群时失败的例子；参见习题2.23和习题2.24。）

习题 2.22. 令$G$是一个阿贝尔群。根据上一个问题，对于固定的$n \in \mathbb{N}$，集合$\left\{g \in G: g^{n}=1\right\}$是$G$的一个子群。证明

是$G$的一个子群。

元素$g \in G$使得存在某个$N \in \mathbb{N}$使得$g^{N}=1$，换句话说，一个有限阶的元素，称为$G$的挠元素，而阿贝尔群$G$中所有有限阶元素的集合称为$G$的挠子群。特别地，在例2.4.2的符号中，$\mathbb{C}^{*}$的挠子群是$\mu_{\infty}$。

习题 2.23. (i) 在群$O_{2}$中，我们已经看到每个元素都具有习题1.28中的符号$A_{\theta}$或$B_{\theta}$的形式。对于一个自然数$n$，$A_{2 \pi / n}$的阶是什么？（注意：它将非常依赖于$n$。）$O_{2}$中所有有限阶的元素$A_{\theta}$是什么？证明对于每个$\theta \in \mathbb{R}$，$B_{\theta}$的阶为2（特别地，阶不依赖于$\theta$）。

(ii) 由(i)，对于每个$\theta$，$B_{\theta}$有有限阶。证明对于大多数$\theta_{1}$和$\theta_{2}$的值，乘积$B_{\theta_{1}} B_{\theta_{2}}$有无限阶。更精确地，描述$\theta_{1}$和$\theta_{2}$必须满足什么条件才能使$B_{\theta_{1}} B_{\theta_{2}}$有有限阶。（这给出了一个群的例子，其中两个有限阶元素的乘积有无限阶。）

习题 2.24. 令$G=G L_{2}(\mathbb{R})$，并令$A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$和$B=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & -1\end{array}\right)$。证明$A^{2}=-I$和$B^{3}=I$。$A$和$B$的阶是什么？最后，检查$A B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$。$(A B)^{2}$是什么？通过归纳，找到所有$n \in \mathbb{N}$的$(A B)^{n}$的公式。$A B$是有限阶的吗？

习题 2.25. 令$G$是一个群。证明子集$H \subseteq G$是一个子群$\Longleftrightarrow H \neq \emptyset$并且对于所有$g, h \in H, g h^{-1} \in H$。

习题 2.26. 令$G$是一个群，并令$H_{1}$和$H_{2}$是$G$的子群。证明$H_{1} \cap H_{2}$是$G$的子群。然而，证明并集$H_{1} \cup H_{2}$是$G$的子群$\Longleftrightarrow$要么$H_{1} \leq H_{2}$要么$H_{2} \leq H_{1}$。

习题 2.27. 令$X$和$Y$是两个集合，并假设$h: X \rightarrow Y$是一个双射。证明函数

定义了一个同构$F: S_{X} \rightarrow S_{Y}$。

习题 2.28. (i) 通过以下方式定义$S_{n}$中的$H_{n} \subseteq S_{n}$：

证明$H_{n}$是$S_{n}$的一个子群，如果$n \geq 2$，找到一个从$H_{n}$到$S_{n-1}$的同构。

(ii) 更一般地，对于$i \in\{1,2, \ldots, n\}$，通过以下方式定义$S_{n}$中的$H_{i} \subseteq S_{n}$：

证明$H_{i}$是$S_{n}$的一个子群，如果$n \geq 2$，找到一个从$H_{i}$到$S_{n-1}$的同构。（提示：使用(i)的论证，证明$H_{i} \cong S_{X_{i}}$，其中

然后使用习题2.27找到一个从$S_{X_{i}}$到$S_{n-1}$的同构。）

(iii) 令$H \subseteq S_{n}$由

$H=\left\{f \in S_{n}: f(\{1,2, \ldots, k\}) \subseteq\{1,2, \ldots, k\}\right.$并且$\left.f(\{k+1, k+2, \ldots, n\}) \subseteq\{k+1, k+2, \ldots, n\}\right\}$定义。证明$H$是$S_{n}$的一个子群。找到一个与$H$同构的更熟悉的群。

习题 2.29. (i) 一个可逆的$2 \times 2$矩阵$A \in \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R})$是上三角的，如果$A=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ 0 & d\end{array}\right)$对于某些$a, b, d \in \mathbb{R}$，必然有$a, d \neq 0$。令$\mathbf{B}$是所有上三角可逆矩阵的集合。可逆矩阵$A$是严格上三角的，如果$A=\left(\begin{array}{ll}1 & b \\ 0 & 1\end{array}\right)$。令$\mathbf{T}$是所有行列式为1的上三角$2 \times 2$矩阵$A$的集合（即在上述符号中$d=a^{-1}$），并令$\mathbf{U}$是所有严格上三角$2 \times 2$矩阵的集合。最后，可逆矩阵

$A$是对角的，如果$A=\left(\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & d\end{array}\right)$，其中$a, d \neq 0$。令$\mathbf{D}$是对角矩阵的集合。证明$\mathbf{B}$，$\mathbf{T}$，$\mathbf{U}$和$\mathbf{D}$都是$G L_{2}(\mathbb{R})$的子群，其中$\mathbf{U} \leq \mathbf{T} \leq \mathbf{B} \leq G L_{2}(\mathbb{R})$和$\mathbf{D} \leq \mathbf{B} \leq G L_{2}(\mathbb{R})$。$\mathbf{T}$是阿贝尔群吗？$\mathbf{U}$是阿贝尔群吗？

(ii) 证明由$f(t)=\left(\begin{array}{ll}1 & t \\ 0 & 1\end{array}\right)$定义的函数$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbf{U}$是一个同构。还证明由$g(s, t)=\left(\begin{array}{ll}s & 0 \\ 0 & t\end{array}\right)$定义的函数$g: \mathbb{R}^{*} \times \mathbb{R}^{*} \rightarrow \mathbf{D}$是一个同构。

习题 2.30. (i) 回忆一下，一次多项式（有时称为线性函数，但这与通常的线性代数定义不同）是形式为$p_{a, b}(x)=a x+b$且$a \neq 0$的函数$p_{a, b}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$。证明（在需要时给出明确的公式）(a) 如果$p_{a_{1}, b_{1}}$和$p_{a_{2}, b_{2}}$是两个一次多项式，那么$p_{a_{1}, b_{1}} \circ p_{a_{2}, b_{2}}$也是；(b) $\operatorname{Id}_{\mathbb{R}}$是一个一次多项式；(c) 如果$p_{a, b}$是一个一次多项式，那么它是一个双射，$p_{a, b}^{-1}$也是一个一次多项式。推断出所有一次多项式的集合是$S_{\mathbb{R}}$（所有从$\mathbb{R}$到$\mathbb{R}$的双射群）的子群。这个子群有时表示为 Aff $\mathbb{R}$。证明$\left\{p_{a, b} \in \operatorname{Aff} \mathbb{R}: b=0\right\}$是Aff $\mathbb{R}$的子群，同构于$\mathbb{R}^{*}$，并且$\left\{p_{a, b} \in \operatorname{Aff} \mathbb{R}: a=1\right\}$是Aff $\mathbb{R}$的子群，同构于$\mathbb{R}$。

(ii) 概括(i)，给定$A \in G L_{n}(\mathbb{R})$和$\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{n}$，仿射同构$P_{A, \mathbf{b}}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$是形式为

沿着(i)中建议的思路，证明

是$S_{\mathbb{R}^{n}}$（所有从$\mathbb{R}^{n}$到$\mathbb{R}^{n}$的双射群）的子群。识别Aff $\mathbb{R}^{n}$中同构于$G L_{n}(\mathbb{R})$的子群和同构于$\mathbb{R}^{n}$的子群。（注：Aff $\mathbb{R}^{n}$包含一个有趣的子群，即子群

群$E_{n}$通常称为欧几里得群，是$\mathbb{R}^{n}$所有不一定是线性的等距变换的集合。）

习题 2.31. 令$G_{1}$和$G_{2}$是两个群（以乘法形式书写），并令$f: G_{1} \rightarrow G_{2}$是一个同构。令$H$是$G_{1}$的一个子集。证明，如果$H$是$G_{1}$的一个子群，那么$f(H)$是$G_{2}$的一个子群。（回忆我们已经看到$f(1)=1$，其中第一个“1”是$G_{1}$中的单位元，第二个是$G_{2}$中的单位元，同样$f\left(g^{-1}\right)=(f(g))^{-1}$。）通过将此结果应用于逆同构$f^{-1}: G_{2} \rightarrow G_{1}$，证明$H$是$G_{1}$的子群$\Longleftrightarrow f(H)$是$G_{2}$的子群。

习题 2.32. 令$r \in \mathbb{Q}, r \neq 0$。证明$r / 2 \notin\langle r\rangle$。推断出$\mathbb{Q}$不是一个循环群。（注：同样的论证适用于$\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{R}^{n}, \ldots$。）

习题 2.33. (i) 描述$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$的子群$\langle(3,-5)\rangle$。

(ii) 证明$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$不是循环群，通过证明对于每个$(a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，子群$\langle(a, b)\rangle$是$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$的一个真子群。

习题 2.34. 回忆例2.4.2和习题2.22，

因此$\mu_{\infty}$是$\mathbb{C}^{*}$和$U(1)$的挠子群，特别是它是一个群。$\mu_{\infty}$是循环群吗？为什么？

2第三章

3循环群与对称群

43.1. 循环群与初等数论

1.1. 带余数的长除法。循环群的故事与初等数论（因式分解、素数、同余）密切相关。我们使用一些关于$\mathbb{N}$中的加法、乘法和顺序的基本结果，从“第一原理”证明一些基本事实。最基本的事实之一如下：

定理 1.1.1 (带余数的长除法)。令$n \in \mathbb{N}$。那么对于所有$a \in \mathbb{Z}$，存在唯一的整数$q$和$r$，其中$0 \leq r \leq n-1$，使得$a=n q+r$。

这里$q$代表商，$r$代表余数。

证明。存在性：通过以下方式定义$\mathbb{Z}$的子集$X$：

首先我们声称$X \neq \emptyset$。如果$a \geq 0$，取$q=0$，使得$a-n q=a \geq 0$是$X$的一个元素。如果$a<0$，取$q=a=-k$，例如，其中$k>0$。那么$a-n q=-k+n k=k(n-1) \geq 0$，因为$k>0$且$n-1 \geq 0$。那么$a-n a \in X$，因此$X \neq \emptyset$。

接下来我们声称$X$有一个最小元素。如果$0 \in X$，那么0显然是$X$的最小元素。如果$0 \notin X$，那么$X \subseteq \mathbb{N}$，因此，由于$X \neq \emptyset$，根据良序原理，$X$有一个最小元素。在任何一种情况下，令$r$是$X$的最小元素。那么根据定义，$r=a-n q$且$r \geq 0$。注意$a=n q+r$。为了证明定理的存在性部分，只需证明$r \leq n-1$。我们通过反证法论证：如果$r \geq n$，那么$0 \leq r-n<r$。但是

由于$r-n \geq 0$，根据$X$的定义，$r-n \in X$。但是$r-n<r$与$r$是$X$的最小元素的选择相矛盾。因此$r \leq n-1$且$a=n q+r$。

唯一性：假设$a=n q_{1}+r_{1}=n q_{2}+r_{2}$，其中$q_{i}, r_{i} \in \mathbb{Z}$且$0 \leq r_{i} \leq n-1$对于$i=1,2$。我们必须证明$q_{1}=q_{2}$且$r_{1}=r_{2}$。现在$r_{1} \leq r_{2}$或$r_{2} \leq r_{1}$。通过对称性，我们可以假设$r_{1} \leq r_{2}$。那么

此外，

如果$r_{2}-r_{1} \neq 0$，那么$r_{2}-r_{1}$是一个正整数，可被$n$整除，因此$r_{2}-r_{1} \geq n$。这与$r_{2}-r_{1} \leq n-1$相矛盾。因此$r_{2}-r_{1}=0$，即$r_{2}=r_{1}$。那么$n\left(q_{1}-q_{2}\right)=0$。由于$n \in \mathbb{N}, n \neq 0$。因此$q_{1}-q_{2}=0$，所以$q_{1}=q_{2}$。

推论 1.1.2. 令$n \in \mathbb{N}$。每个同余类$[a]_{n} \in \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$都有一个唯一的代表$r$，其中$0 \leq r \leq n-1$。因此$\#(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})=n$，并且作为一个集合，